Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks

Pengertian

Matriks Kofaktor dan Adjoin Matriks - Setelah mempelajari materi matematika kali ini, anda dapat memahami tentang cara menentukan minor dan kofaktor suatu matriks. Andapun dapat mencari adjoin suatu matriks, sehingga nantinya adjoin matriks dapat digunakan dalam membantu mencari invers matriks.

1. Memahami Nilai Minor

Mencari nilai minor suatu matriks adalah mencari nilai determinannya dengan cara menghilangkan elemen – elemen pada baris ke-𝑖 dan elemen-elemen pada kolom ke-𝑗. Simbol yang digunakan dalam menyatakan nilai minor suatu matriks adalah M_ij , dimana i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

Seperti yang disebutkan di atas, mencari nilai minor berarti mencari nilai determinan, sehingga hanya pada matriks persegi kita dapat mencari nilai minor. Misalnya kita dapat mencari nilai minor pada matriks ordo 2x2, matriks ordo 3x3 dan matriks persegi lainnya.

2. Mencari Nilai Minor Pada Matriks Persegi 2x2

Misalkan kita memiliki matriks persegi berukuran 2x2 seperti di bawah ini :

A =  

a b c d

Maka cara menentukan nilai minor untuk matriks adalah sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  a b c d

      ⇒ M₁₁= [d] = d


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  a b c d

      ⇒ M₁₂= [c] = c


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  a b c d

      ⇒ M₂₁ = [b] = b


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua:
  
  M₂₂ =  

  a b c d

      ⇒ M₂₂ = [a] = a

Dengan demikian komponen minor dari Matriks A adalah :

A =  

d c b a

2.1 Contoh Nilai Minor Pada Matriks Persegi 2x2

Carilah nilai minor dari matriks A di bawah ini :

A =  

2 3 4 5

Pembahasan

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  2 3 4 5

      ⇒ M₁₁= [5] = 5


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  2 3 4 5

      ⇒ M₁₂= [4] = 4


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  2 3 4 5

      ⇒ M₂₁ = [3] = 3


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua:
  
  M₂₂ =  

  2 3 4 5

      ⇒ M₂₂ = [2] = 2

Dengan demikian komponen minor dari Matriks A adalah :

A =  

5 4 3 2

3.Mencari Nilai Minor Pada Matriks Persegi 3x3

Misalkan kita memiliki matriks persegi berukuran 3x3 seperti di bawah ini :

A =  

a b c d e f g h i

Maka cara menentukan nilai minor untuk matriks adalah sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₁ =  

  e f h i

     = (e.i) - (h.f)


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₂ =  

  d g f i

     = (d.i) - (f.g)
  
  
• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom ketiga :
  
  M₁₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₁₃ =  

  d e g h

     = (d.h) - (g.e)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₁ =  

  b c h i

     = (b.i) - (h.c)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua :
  
  M₂₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₂ =  

  a c g i

     = (a.i) - (g.c)


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom ketiga :
  
  M₂₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₂₃ =  

  a b g h

     = (a.h) - (g.b)
  
  


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom pertama:
  
  M₃₁ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₁ =  

  b c e f

     = (b.f) - (e.c)


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom kedua:
  
  M₃₂ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₂ =  

  a c d f

     = (a.f) - (d.c)


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom ketiga :
  
  M₃₃ =  

  a b c d e f g h i

  
  
  M₃₃ =  

  a b d e

     = (a.e) - (d.b)

3.1 Contoh Nilai Minor Pada Matriks Persegi 3x3

Carilah nilai minor dari matriks A di bawah ini :

A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Nilai minor untuk matriks di atas adalah sebagai berikut :

• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom pertama :
  
  M₁₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₁ =  

  1 0 0 3

     = (1.3) - (0.0) = 3


• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom kedua :
  
  M₁₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₂ =  

  -4 0 2 3

     = (-4.3) - (0.2) = -12
  
  
• Nilai minor matriks untuk baris pertama dan kolom ketiga :
  
  M₁₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₁₃ =  

  -4 1 2 0

     = (-4.0) - (1.2) = -2


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom pertama:
  
  M₂₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₁ =  

  7 1 0 3

     = (7.3) - (1.0) = 21


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom kedua :
  
  M₂₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₂ =  

  5 1 2 3

     = (5.3) - (1.2) = 13


• Nilai minor matriks untuk baris kedua dan kolom ketiga :
  
  M₂₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₂₃ =  

  5 7 2 0

     = (5.0) - (7.2) = -14
  
  


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom pertama:
  
  M₃₁ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₁ =  

  7 1c 1 0

     = (7.0) - (1.1) = -1


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom kedua:
  
  M₃₂ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₂ =  

  5 1 -4 0

     = (5.0) - (-4.1) = 4


• Nilai minor matriks untuk baris ketiga dan kolom ketiga :
  
  M₃₃ =  

  5 7 1 -4 1 0 2 0 3

  
  
  M₃₃ =  

  5 7 -4 1

     = (5.1) - (-4.7) = 33

Sehingga komponen minor untuk matriks A diatas adalah :

A =  

3 -12 -2 21 13 -14 -1 4 33

Mencari Nilai Kofaktor

Maksud dari nilai kofaktor adalah nilai yang mengandung nilai positif (+) atau nilai minus (-) pada masing-masing nilai minor.

Dengan demikian, setelah didapatkan nilai minor pada masing-masing elemen matriks baru bisa kita lanjutkan dengan mencari nilai kofaktor dengan memberikan nilai positif atau negatif. Terdapat dua cara dalam menentukan nilai kofator.

1. Cara Pertama

Dibawah ini adalah pedoman kita dalam memberikan nilai kofaktor untruk matriks ukuran nxn :

+ - + .. - + - .. + - + .. .. .. .. ..

Dari poin 3.1 di atas, kita telah dapatkan nilai minor, maka nilai kofaktornya adalah sebagai berikut :

• K_(1,1)=+3 = 3
• K_(1,2)=-(-12)= 12
• K_(1,3)=+(-2)= -2
• K_(2,1)=-21= -21
• K_(2,2)=+13= 13
• K_(2,3)=-(-14)= 14
• K_(3,1)=+(-1)= -1
• K_(3,2)=-(4)= -4
• K_(3,3)=+(33)= 33

Sehingga kita dapatkan matriks kofaktornya sebagai berikut :

K_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

2. Cara Kedua

Kita menggunakan rumus berdasarkan baris dan kolom untuk mencari kofaktor dengan rumus :
K_(i,j) = (-1)^i+j.M_(i,j)

Dari poin 3.1 di atas, kita bisa dapatkan nilai kofaktor dari masing-masing nilai minor di atas sebagai berikut :

• K_(1,1) = (-1)¹⁺¹ . 3 = 3
• K_(1,2) = (-1)¹⁺² . -12 = 12
• K_(1,3) = (-1)¹⁺³ . -2 = -2
• K_(2,1) = (-1)²⁺¹ . 21= -21
• K_(2,2) = (-1)²⁺² . 13 = 13
• K_(2,3) = (-1)²⁺³ . -14 = 14
• K_(3,1) = (-1)³⁺¹ . -1 = -1
• K_(3,2) = (-1)³⁺² . 4 = -4
• K_(3,3) = (-1)³⁺³ . 33 = 33

Sehingga di dapatkan matriks kofaktornya sama seperti cara pertama, yaitu :

K_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Mencari Adjoin Matriks

Adjoin suatu matriks didapatkan dengan cara melakukan proses transpose dari matriks kofaktor yang didapatkan. Misal kita memiliki matriks A, maka simbol untuk menandakan Adjoin suatu matrik dilambangkan dengan : Adj_(A).

Dari penjelasan di atas, kita telah dapatkan kofaktor matriks A sebagai berikut :

C_A =  

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Dengan melakukan proses transpose (melakukan pertukaran elemen dari baris menjadi kolom begitu juga sebaliknya) akan di dapatkan adjoin matriks sebagai berikut :

Adj_A =  

3 -21 -1 12 13 -4 -2 -14 33